波函数|继续研究量子力学《张朝阳的物理课》氢原子问题第一讲

1月16日12时，《张朝阳的物理课》第二十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，继续研究量子力学。课程中，他带着网友复习无限深势阱的薛定谔方程的解、简述解氢原子问题的重大意义；介绍算符对易关系和运算规则，尝试在三维空间坐标系下应用薛定谔方程，研究氢原子的定态解并寻找新的正则变量，将二体系统化为质心运动部分与相对运动部分，为后续课程解决氢原子问题，做好知识和推导上的准备。

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“前面用两堂课来介绍量子力学发现的背景，上一讲正式谈量子力学，初步‘尝’了一下薛定谔方程怎么解。今天我们‘进军’氢原子，研究氢原子最简单的状况。”张朝阳直奔主题，“我对氢原子很感兴趣，理解了氢原子问题，我们将来就有可能理解万物。”他说，“不过，别小看氢原子，要解起来太复杂。”
算符乘法讲究对易关系左右顺序在此非常关键
“我们只学会一丁点儿量子力学的知识，就来解最难的氢原子问题。”为解决氢原子问题，张朝阳进一步介绍算符的运算规则与对易关系。
他指出，算符可以相加，算符之和作用到波函数上，定义为分别作用到波函数上再求和。加法满足交换率与结合率，跟传统的加法无异，但是算符的乘法就与传统的乘法非常不同了。算符之积作用到波函数上，定义为先作用右边的算符再作用左边的算符。这样算符的乘积里左边算符与右边算符位置是不能随意交换的，即算符之积不满足交换率，这导致了量子力学与经典力学有非常不同的性质。为了描述这种乘积顺序的不对易性，我们引入“对易关系”，将两个算符之积的不同顺序相减，具体用数学符号表示为：

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张朝阳具体介绍算符的加法乘法与对易关系之间的运算规则，他边说边在“直播小白板”上推导：

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（对易关系与加法乘法的运算规则）
他指出，了解这些算符的运算规则，才能顺利解氢原子的薛定谔方程。
两体系统选取质心坐标分离变量体现内部特征
实际上，氢原子由质子与电子组成，其薛定谔方程包含描述质子与电子的算符，是个二体系统，张朝阳向网友展现氢原子的薛定谔方程：

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张朝阳介绍，虽然氢原子的薛定谔方程中，电子与质子的动能项是分开的，但由于质子与电子之间的势能与他们之间的相对距离有关，所以不能单纯地把电子与质子分开，会导致这个方程变得很复杂。他表示，要解这个方程，需要重新找一组变量，新的这组变量不仅需要满足原来的正则对易关系，而且可以将复杂的二体薛定谔方程分解成单体薛定谔方程。
张朝阳讲到，根据势能只与电子和质子的相对距离有关这个性质，可考虑将电子与质子组成的二体系统，分解为相对运动与质心运动，新的这组变量与原来的质子电子变量形成关系。

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经过推导，张朝阳带着网友证明了这组新的变量满足正则对易关系。

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另外，他们还发现，利用这组新变量可将原来的氢原子定态薛定谔方程改写。
在这个新形式的哈密顿量中，第一项是关于质心运动的，而第二项与第三项是关于相对运动的，从而波函数的质心运动部分与相对运动部分可以分开。